\documentclass[cyan]{elegantnote}

% 导言区
\author{洛白故}
\email{2194521087@qq.com}
\zhtitle{数学}
\entitle{Math}
\version{1.00}
\myquote{概率论}
\logo{logo.pdf}
\cover{cover.pdf}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes,chains}
\tikzstyle{rect}=[rounded rectangle, draw]%圆角框
% 初始设置
% green color
   \definecolor{main1}{RGB}{210,168,75}
   \definecolor{seco1}{RGB}{9,80,3}
   \definecolor{thid1}{RGB}{0,175,152}
% cyan color
   \definecolor{main2}{RGB}{239,126,30}
   \definecolor{seco2}{RGB}{0,175,152}
   \definecolor{thid2}{RGB}{236,74,53}
% cyan color
   \definecolor{main3}{RGB}{127,191,51}
   \definecolor{seco3}{RGB}{0,145,215}
   \definecolor{thid3}{RGB}{180,27,131}
\usepackage{makecell}
\usepackage{lipsum}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multicol}
\usepackage{geometry}
\usepackage{tablefootnote}
\begin{document}
\maketitle
% \tableofcontents 生成目录
% \chapter{Elegant Note模板的由来}
% \section{长长的历史，长长的期待}
% \begin{enumerate}
% \item
% \end{enumerate}
%{\color{thid}这章还有这么大空间，忍不住插个图！}

% \begin{figure}[!hbtp]
% \includegraphics[width=0.8\textwidth]{happy.jpg}
% \caption{Happiness,We have it!\label{figur:happy}}
% \end{figure}
% \itemsep=3pt
% \parskip=0pt
%\begin{note}

%\item {\color{main} newdef} 环境，含有一个可选项，编号以章节为单位；
%\item {\color{main}newthem、newlemma、newcorol} 环境，三者颜色一致，但是定理环境编号以章节为单位，引理和推论为全文编号；
%证明类环境，有{\color{main}newproof、note} 环境，特点是，有引导符和引导词，并且证明环境有结束标志。
%示例环境，有{\color{main} example、assumption、conclusion} 环境，三者均以粗体的引导词为开头，字体以灰色，和普通段落格式一致。

% \begin{align*}
% \begin{newdef}[Wiener Process] 新的证明
% \end{newcorol} 新的推论
% \begin{newproof}[XXX] 新的假设
% \begin{conclusion}

% ---------------------------------流程图绘制---------------------------------------
%----------------------------------------------------------------------------------|
%---------------------------------Write as follow----------------------------------|
%----------------------------------------------------------------------------------|
\chapter{随机事件及其概率}
\section{一些概念}
% \begin{multicols}{2}       % 分两栏 若花括号中为3则是分三列
%         \begin{tabular}{ccc}
%             \hline
%             概念& 符号/表达形式\\
%             \hline
%             随机试验\footnote{(1)可以在相同条件下重复（2）不确定结果（3）全部结果已知}&简称试验\\
%             运动方程&关于t的参数方程\\
%             轨迹方程&消掉时间变量t\\
%             位移矢量&$\bigtriangleup r$\\
%             切向加速度&速率求导\\
%             法向加速度& $\omega v$\\
%             \hline
% \end{tabular}
% \end{multicols}

随机试验\footnote{【随机试验】：(1)可以在相同条件下重复（2）不确定结果（3）全部结果已知}
样本空间\footnote{【样本空间】：随机试验的所有可能的结果。元素被称为【样本点】}
随机事件\footnote{【随机事件】：$E$的子集，只由一个事件构成的叫做【基本事件】，包含所有的叫做【必然事件】，空集叫做【不可能事件】。样本点发生叫做事件发生。}
{\color{red}注意包含关系的运用}
\begin{multicols}{2}       % 分两栏 若花括号中为3则是分三列
    \begin{center}
        \begin{tabular}{ccc}
            \hline
            概念& 符号/表达形式\\
            \hline
            随机试验&$E$\\ \hline
            样本空间&$S$\\ \hline
            样本点&$e_i$\\ \hline
            随机事件&$A,B,\cdots$\\ \hline
            包含事件&$A\subset B$\\ \hline
            和事件&$\cup$\\ \hline
            积事件&$\cap${\color{blue}也记作$AB$}\\ \hline
            差事件&  $A\bar{B}=A-A B$\\
            \hline
\end{tabular}
    \end{center}
    \begin{center}
        \begin{tabular}{ccc}
            \hline
            概念& 符号/表达形式\\ 
            \hline
            互斥&$AB=\oslash $\\ \hline
            {\color{main2}对立}&互斥并且$A\cup B=S$\\ \hline
            结合律&$\begin{array}{l}
                A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C \\
                (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)
                \end{array}$\\ \hline
            {\color{red}分配律}&$\begin{array}{l}
                A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) \\
                A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)
                \end{array}$\\ \hline
            {\color{blue}德摩根率}&$\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}, \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$\\
            \hline
            频率&$f_n(A)=\frac{n_A}{n}$\\
            \hline
            概率&$n \to \infty$,接近于的p\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}


\end{multicols}
\section{概率的公理化和性质}
非负性\footnote{【非负性】：$P(A)\le 0$}，规范性\footnote{【规范性】：P(必然事件)=0}，可列可加性\footnote{【可列可加性】：互斥事件的和事件概率等于互斥事件概率和}
\subsection{加法公式}
\[\begin{aligned}
    & P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right) \\
    =& \sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)-\sum_{1<i<j<n} P\left(A_{i} A_{j}\right)+\sum_{1<i<j<k<n} P\left(A_{i} A_{j} A_{k}\right)+\cdots+\\
    &(-1)^{n-1} P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)
    \end{aligned}\]
\section{古典概型，几何概型}
\[\Large A_{n}^{r}=n(n-1) \cdots(n-r+1)=\frac{n !}{(n-r) !}{\color{red}\text{有}}\text{顺序!}\]
\[\Large C_{n}^{r}=\frac{n !}{(n-r) !(r!)}{\color{red}\text{无}} \text{顺序!}\]
\subsection{古典概型}
有限个样本点，基本事件的概率相等
\subsection{几何概型}
样本空间是一个几何区域，落在任一点的可能性是一样的

\section{条件概率，全概率公式，贝叶斯公式}
\subsection{n个人都不坐在自己的位置上}
    \subsection{条件概率}
    \[P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(A)}\]
    \subsection{乘法公式}
    \[P\left(A_{1} A_{2}  \cdots  A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right)\times P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) \times P\left(A_{3} \mid A_{1} A_{2}\right)\times \cdots \times P\left(A_{n} \mid A_{1} A_{2} \cdots A_{n-1}\right)\]
    \begin{note}抽签原理：有特殊签的时候，每个人抽到特殊签的概率一样，没有先后区别。\fbox{摸球，第几次摸到什么球，只要不放回}\end{note}
    {\color{red}例题1：}有一个人有五把钥匙，其中两把可以开门，但他不知道是哪个。一个一个试，前三次试出来的概率是：$\frac{1}{10}$

    \subsection{全概率公式}
    \[P(A)=P\left(B_{1}\right) P\left(A \mid B_{1}\right)+P\left(B_{2}\right) P\left(A \mid B_{2}\right)+\cdots+P\left(B_{n}\right) P\left(A \mid B_{n}\right)\]
    \subsection{贝叶斯公式}
    \[P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(B_{j}\right) P\left(A \mid B_{j}\right)}, \quad i=1,2, \cdots, n\]
    \section{事件之间的独立性}
    \begin{tabular}{ccc}
        \hline
      {\color{blue}两两独立}& $P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)$ \\ \hline
      {\color{red}相互独立}&$P\left(A_{k_{1}} A_{k_{2}} \cdots A_{k_{l}}\right)=P\left(A_{k_{1}}\right) P\left(A_{k_{2}}\right) \cdots P\left(A_{k_{l}}\right) \quad(l=2,3, \cdots, n)$\\
      \hline
    \end{tabular}
    \end{document}